Conjuntos
Uno de los temas básicos para entender los fundamentos del álgebra es el tema de conjuntos, por lo que asignaremos este espacio para escribir de forma sencilla los conceptos más importantes del tema.
CONJUNTO:
Es una colección de objetos bien definidos.
ELEMENTO:
Es cada uno de los objetos de un conjunto.
Por ejemplo nombremos un Conjunto A que contiene las vocales. Todas las vocales: a,e,i,o,u son elementos de A.
Se denota de la siguiente forma:
A = { a, e, i, o , u }
Observa que para agrupar los elementos se hace con " { }" .
CONJUNTO VACÍO
Cuando el conjunto no tiene elementos, se dice que es un conjunto vacío.
Se denota de la siguiente forma: A={}
A={0} ------ No significa Conjunto vacío. Significa que el conjunto A tiene un elemento que es "0" .
PERTENECE Y NO PERTENECE
Si " a " es un elemento de A se dice que "a" pertenece al conjunto "A" . Y se denota:
NOTACIÓN DE CONJUNTOS:
a) Por Extensión o Explícita : Se detalla cada elemento.
b) Por Comprensión o Implícita: Se explica en que consiste el conjunto con palabras.
Veamos un ejemplo:
Dado el conjunto de números nones positivos menores que 13, expresar el conjunto en forma Explícita e Implícita.
a) Por Extensión o Explícita
A = { 1,3,5,7,9,11}
b) Por Comprensión o Implícita
B = { x/x es un número non positivo < 13}
¿Observas la diferencia? En la forma Explícita se escriben los elementos y en la forma Implícita únicamente se describen con palabras.
SUBCONJUNTO
El conjunto "A" es un subconjunto de "B" si y solo si cada elemento de "A" es también elemento de "B".
Ejemplo:
Si A= { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Un subconjunto de A sería:
B={ 1,3,5,7,9}
Otro subconjunto sería:
C= {2,4,6,8}
Con un elemento que no se encuentre, ya no sería subconjunto.
Por ejemplo:
D = {2,4,6,8,10} En este caso, D no es subconjunto de A.
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos "A" y "B" se definen como el conjunto compuesto por todos los elementos que están en A, en B o en ambos. (Con que se encuentren en uno de los dos conjuntos o en los dos)
Se denota A U B y se lee "A unión B"
Ejemplo:
A={ 1,3,5,7,9 }
B={ 9,10,11,12 }
A U B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos se define como el conjunto que contienen todos los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. ( Muy importante: tienen ...que pertenecer a ambos).
Ejemplo 1
A={ 1,3,5,7,9 }
B={ 9,10,11,12 }
La intersección entre A y B es : {9}
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CONJUNTO:
Es una colección de objetos bien definidos.
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, podemos hablar de un conjunto de números, objetos, personas, figuras, ideas, conceptos, etc...
ELEMENTO:
Es cada uno de los objetos de un conjunto.
Por ejemplo nombremos un Conjunto A que contiene las vocales. Todas las vocales: a,e,i,o,u son elementos de A.
Se denota de la siguiente forma:
A = { a, e, i, o , u }
Observa que para agrupar los elementos se hace con " { }" .
CONJUNTO VACÍO
Cuando el conjunto no tiene elementos, se dice que es un conjunto vacío.
Se denota de la siguiente forma: A={}
CUIDADO
PERTENECE Y NO PERTENECE
Si " a " es un elemento de A se dice que "a" pertenece al conjunto "A" . Y se denota:
NOTACIÓN DE CONJUNTOS:
a) Por Extensión o Explícita : Se detalla cada elemento.
b) Por Comprensión o Implícita: Se explica en que consiste el conjunto con palabras.
Veamos un ejemplo:
Dado el conjunto de números nones positivos menores que 13, expresar el conjunto en forma Explícita e Implícita.
a) Por Extensión o Explícita
A = { 1,3,5,7,9,11}
b) Por Comprensión o Implícita
B = { x/x es un número non positivo < 13}
¿Observas la diferencia? En la forma Explícita se escriben los elementos y en la forma Implícita únicamente se describen con palabras.
SUBCONJUNTO
El conjunto "A" es un subconjunto de "B" si y solo si cada elemento de "A" es también elemento de "B".
Ejemplo:
Si A= { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Un subconjunto de A sería:
B={ 1,3,5,7,9}
Otro subconjunto sería:
C= {2,4,6,8}
Con un elemento que no se encuentre, ya no sería subconjunto.
Por ejemplo:
D = {2,4,6,8,10} En este caso, D no es subconjunto de A.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos "A" y "B" se definen como el conjunto compuesto por todos los elementos que están en A, en B o en ambos. (Con que se encuentren en uno de los dos conjuntos o en los dos)
Se denota A U B y se lee "A unión B"
Ejemplo:
A={ 1,3,5,7,9 }
B={ 9,10,11,12 }
A U B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos se define como el conjunto que contienen todos los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. ( Muy importante: tienen ...que pertenecer a ambos).
Ejemplo 1
A={ 1,3,5,7,9 }
B={ 9,10,11,12 }
La intersección entre A y B es : {9}
Ejemplo 2
Sean los conjuntos A y B:
A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A ∩ B ={ }
La intersección proporciona un conjunto vacío.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A pero que si forman parte de un conjunto Universo U.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto universal U : U = {x/x es una vocal}
T = {a, i, u} entonces
T ‘ = {e, o }
Ejemplo 2:
Sea el conjunto Universal U= {x/x es un número entre 0 y 10}
E = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
Por lo tanto:
E’ = { 1, 3, 5, 7, 9}
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